CG3 - 数学库与测试

0、概述

数学库是软件渲染器的核心部分之一，没有数学库的支持，甚至无法完成基本的 3D 物体坐标转换与显示。

数学库由多个文件构成：

• Vector.h：点、向量的支持
• LMath.h：线、面和三角函数表支持
• LMath.cpp：…
• Matrix.h：矩阵支持
• Quat.h：四元数支持

点、线、面相关介绍在上一节已基本涵盖，本节主要介绍矩阵和四元数的库支持。数学库需要编写大量容易出错的代码，从点线面到矩阵运算，前一步产生的错误很可能在后一步累加放大成更大的错误，所以需要有尽可能完备的测试去保证数学库的正确性。

1、矩阵

矩阵常用于数据变换，如平移、缩放、旋转等。在设计实现矩阵是，我既使用了重载运算符，也使用了成员运算函数。重载运算符只限于对同一类型的数据结构使用，而成员运算函数则重载了多个版本对应于不同的数据结构。以下的运算中，均以 Matrix4x4 矩阵为例。

1）平移

$$ p' = p * M_t \\ = \begin{bmatrix}x & y & z & 1\end{bmatrix} * \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ \Delta_x & \Delta_y & \Delta_z & 1 \end{bmatrix} \\ = \begin{bmatrix}x + \Delta_x & y + \Delta_y & z + \Delta_z & 1\end{bmatrix} $$

2）缩放

$$ p' = p * M_s \\ = \begin{bmatrix}x & y & z & 1\end{bmatrix} * \begin{bmatrix} sx & 0 & 0 & 0 \\ 0 & sy & 0 & 0 \\ 0 & 0 & sz & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \\ = \begin{bmatrix}sx*x & sy*y & sz*z & 1\end{bmatrix} $$

3）旋转

旋转可以绕 x 轴、y 轴、z 轴进行，绕任何轴时，该分量保持不变。以下以绕 z 轴旋转为例：

$$ p' = p * M_z \\ = \begin{bmatrix}x & y & z & 1\end{bmatrix} * \begin{bmatrix} \cos(\theta) & \sin(\theta) & 0 & 0 \\ -\sin(\theta) & \cos(\theta) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \\ = \begin{bmatrix} x*\cos(\theta) - y*\sin(\theta) & x*\sin(\theta) + y*\cos(\theta) & z & 1 \end{bmatrix} $$

2、四元数

pass

3、测试

测试是系统功能性的保证，设计完备的测试并不比实现功能简单，测试的目标不仅仅是覆盖 API，更多地是尽可能提供实际场景中的数据与环境，及早地发现每个部分元功能的错误。

实现测试时，我并没有使用 assert.h 中的 assert，而是自己定义了一个函数 UT_ASSERT，在检测条件的同时，将错误信息打印并写入文件。C++ 中的 assert 功能比较单一，仅具有比较功能，相对来说 Python 中的 unittest 就很好用。如果要在 C++ assert 中实现更详细的信息反馈，还是需要自己实现或者使用一些单元测试框架，例如 gtest。 （在学习制作这一部分时，我阅读了《Effective C++》的部分章节，导致前后编码风格发生了一定的变化。）

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inline void UT_ASSERT(bool condition, std::string output)
{
    if (condition)
    {
        std::cout << output << std::endl;
        TestLog << output << std::endl;
    }
}

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